В школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела - многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. Частным случаем является правильная четырёхугольная призма. Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная).

Как выглядит призма

Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры - прямой параллелепипед.

Рисунок, на котором изображена четырёхугольная призма, показан ниже.

На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело . К ним принято относить:

Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение - это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить - 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.

Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.

Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).

Площадь поверхности и объём

Чтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту:

V = Sосн·h

Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a, можно записать формулу в более подробном виде:

V = a²·h

Если речь идёт о кубе - правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так:

Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку.

Из чертежа видно, что боковая поверхность составлена из 4 равных прямоугольников. Её площадь вычисляется как произведение периметра основания на высоту фигуры:

Sбок = Pосн·h

С учётом того, что периметр квадрата равен P = 4a, формула принимает вид:

Sбок = 4a·h

Для куба:

Sбок = 4a²

Для вычисления площади полной поверхности призмы нужно к боковой площади прибавить 2 площади оснований:

Sполн = Sбок + 2Sосн

Применительно к четырёхугольной правильной призме формула имеет вид:

Sполн = 4a·h + 2a²

Для площади поверхности куба:

Sполн = 6a²

Зная объём или площадь поверхности, можно вычислить отдельные элементы геометрического тела.

Нахождение элементов призмы

Часто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:

• длина стороны основания: a = Sбок / 4h = √(V / h);
• длина высоты или бокового ребра: h = Sбок / 4a = V / a²;
• площадь основания: Sосн = V / h;
• площадь боковой грани: Sбок. гр = Sбок / 4.

Чтобы определить, какую площадь имеет диагональное сечение, необходимо знать длину диагонали и высоту фигуры. Для квадрата d = a√2. Из этого следует:

Sдиаг = ah√2

Для вычисления диагонали призмы используется формула:

dприз = √(2a² + h²)

Чтобы понять, как применять приведённые соотношения, можно попрактиковаться и решить несколько несложных заданий.

Примеры задач с решениями

Вот несколько заданий, встречающихся в государственных итоговых экзаменах по математике.

Задание 1.

В коробку, имеющую форму правильной четырёхугольной призмы, насыпан песок. Высота его уровня составляет 10 см. Каким станет уровень песка, если переместить его в ёмкость такой же формы, но с длиной основания в 2 раза больше?

Следует рассуждать следующим образом. Количество песка в первой и второй ёмкости не изменялось, т. е. его объём в них совпадает. Можно обозначить длину основания за a . В таком случае для первой коробки объём вещества составит:

V₁ = ha² = 10a²

Для второй коробки длина основания составляет 2a , но неизвестна высота уровня песка:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Поскольку V₁ = V₂ , можно приравнять выражения:

10a² = 4ha²

После сокращения обеих частей уравнения на a² получается:

В результате новый уровень песка составит h = 10 / 4 = 2,5 см.

Задание 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильная призма. Известно, что BD = AB₁ = 6√2. Найти площадь полной поверхности тела.

Чтобы было проще понять, какие именно элементы известны, можно изобразить фигуру.

Поскольку речь идёт о правильной призме, можно сделать вывод, что в основании находится квадрат с диагональю 6√2. Диагональ боковой грани имеет такую же величину, следовательно, боковая грань тоже имеет форму квадрата, равного основанию. Получается, что все три измерения - длина, ширина и высота - равны. Можно сделать вывод, что ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом.

Длина любого ребра определяется через известную диагональ:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Площадь полной поверхности находится по формуле для куба:

Sполн = 6a² = 6·6² = 216

Задание 3.

В комнате производится ремонт. Известно, что её пол имеет форму квадрата с площадью 9 м². Высота помещения составляет 2,5 м. Какова наименьшая стоимость оклейки комнаты обоями, если 1 м² стоит 50 рублей?

Поскольку пол и потолок являются квадратами, т. е. правильными четырёхугольниками, и стены её перпендикулярны горизонтальным поверхностям, можно сделать вывод, что она является правильной призмой. Необходимо определить площадь её боковой поверхности.

Длина комнаты составляет a = √9 = 3 м.

Обоями будет оклеена площадь Sбок = 4·3·2,5 = 30 м² .

Наименьшая стоимость обоев для этой комнаты составит 50·30 = 1500 рублей.

Таким образом, для решения задач на прямоугольную призму достаточно уметь вычислять площадь и периметр квадрата и прямоугольника, а также владеть формулами для нахождения объёма и площади поверхности.

Как найти площадь куба

В основе геометрического тела – призмы лежат многоугольники, а каждая боковая грань – параллелограмм. Непосвященный, возможно, немного испугался. Но если вашего ребенка просят прийти на урок с призмой, вы, естественно, захотите помочь ему и объяснить, как сделать призму из бумаги.

Начнем с изготовления прямой призмы. В этой призме боковые ребра перпендикулярны основаниям. Наиболее проста в изготовлении своими руками призма из бумаги с тремя гранями, так как в ее основаниях лежат простейшие из многоугольников – треугольники. Изготовим «правильную» призму. У нее основания представлены равносторонними треугольниками.

Треугольная призма

Продумаем, какая по высоте будет наша треугольная призма из бумаги. Начертим прямоугольник-с одной стороной, равной высоте, а другой - равной длине периметру треугольника в основании. Полученный прямоугольник разделим параллельными прямыми на три равные части. От углов прямоугольника, находящегося в середине, циркулем проведем окружности с радиусом, равным стороне нашего треугольника в основании. Где окружности пересекутся за пределами первоначального прямоугольника, поставим точки и соединим их с центрами окружностей. Мы должны получить фигуру, изображенную в середине рисунка. Далее фигуру вырезаем с небольшими припусками для склеивания, сгибаем по имеющимся прямым линиям и получаем готовую призму.

По какому шаблону изготавливается призма из бумаги с четырьмя гранями, наглядно демонстрирует схема на рисунке.

Шестиугольная призма

Пример заготовки для пятигранной призмы представлен на рисунке. Здесь высота пирамиды 10 см, длина сторон у пятигранника в основании по 3 см. Похожим образом может быть изготовлена шестиугольная призма из бумаги, но в ее основании лежит шестиугольник.

Наклонная призма

Наклонная призма из бумаги представлена на этом рисунке. Ее боковые грани находятся под углом к основанию. Такую призму можно изготовить по шаблону-развертке.

Призма – объемная фигура, многогранник, видов которого дюже много: положительные и неправильные, прямые и наклонные. По фигуре, лежащей в основании, призма бывает от треугольной до многоугольной. Проще каждого сделать прямую призму, а вот над наклонной надобно немножко огромнее потрудиться.

Вам понадобится

• – циркуль;
• – линейка;
• – карандаш;
• – ножницы;
• – клей;
• – бумага либо картон.

Инструкция

1. Начертите основания призмы, в данном случае это будут 2 шестиугольника. Для того, дабы начертить верный шестиугольник воспользуйтесь циркулем. Нарисуйте им круг, и с подмогой этого же радиуса поделите окружность на шесть частей (у верного шестиугольника стороны равны радиусу описанной окружности). Получившаяся фигура напоминает ячейку пчелиной соты. Неверный шестиугольник начертите произвольно, но с подмогой линейки.

2. Сейчас приступайте к проектированию «выкройки». Стенками призмы являются параллелограммы, и вам необходимо их начертить. В прямой модели параллелограммом будет легкой прямоугольник. И его ширина будет неизменно равна стороне шестиугольника, лежащего в основании призмы. При верной фигуре в основании, все грани призмы будут равны между собой. При неправильной – всей стороне шестиугольника будет соответствовать только один параллелограмм (одна боковая грань), подходящий по размеру. При этом следите за последовательностью размеров граней.

3. На горизонтальной прямой ступенчато отложите 6 отрезков, равных стороне основания шестиугольника. Из полученных точек проведите перпендикулярные линии требуемой высоты. Концы перпендикуляров объедините 2-й горизонтальной линией. У вас получилось 6 прямоугольников, объединенных совместно.

4. Пристройте к нижней и верхней стороне одного из прямоугольников 2 сконструированных ранее шестиугольника. К любому основанию, если он положительный, и к соответствующему по длине, если шестиугольник неверный. Обведите силуэт сплошной линией, а линии сгиба внутри фигуры – пунктирной. У вас получилась развертка поверхности прямой призмы.

5. Для создания наклонной призмы основания оставьте такими же. Начертите сторону-параллелограмм, которая будет являться одной из граней. Таких граней должно быть шесть, как вы помните. Дабы сейчас начертить развертку наклонной призмы, надобно расположить шесть параллелограммов в дальнейшем порядке: три по возрастанию, так, дабы их косые стороны образовали одну линию, дальше три по убыванию с тем же условием. Крутизна получившейся линии прямо пропорциональна градусу наклона призмы.

6. К пяти прямоугольникам в развертке пририсуйте небольшие трапециевидные захлесты на коротких сторонах для склеивания фигуры, а также на одной свободной длинной стороне. Вырежете заготовку для призмы совместно с захлестами и склейте модель.

Призма – это прибор, тот, что разделяет типичный свет на отдельные цвета: алый, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый. Это светопроницаемый объект, с плоской поверхностью, которая преломляет световые волны в зависимости от их длин и вследствие этому разрешает увидеть свет в различных цветах. Сделать призму самосильно достаточно легко.

Вам понадобится

• Два листа бумаги
• Фольга
• Стакан
• Компакт Диск
• Кофейный столик
• Фонарик
• Булавка

Инструкция

1. Призму дозволено сделать из простого стакана. Наполните стакан водой чуть огромнее чем наполовину. Разместите стакан на край кофейного столика так, дабы примерно половина дна стакана повисла в воздухе. При этом следите, дабы стаканчик стоял на столе устойчиво.

2. Положите два листа бумаги один за одним рядом с кофейным столом. Включите фонарь и посветите лучиков света через стакан, так, дабы он падал на бумагу.

3. Регулируйте расположение фонаря и бумаги до тех пор пока не увидите на листах радугу – так ваш луч света раскладывается на спектры.

Видео по теме

Базовым навыком художника в академическом рисунке является знание изображать на плоскости простейшие объемные геометрические формы – куб, призму , цилиндр, конус, пирамиду и шар. Владея этим навыком, дозволено выстраивать больше трудные, комбинированные объемные формы архитектурных и прочих объектов. Призма – это многогранник, две грани (основания) которого имеют идентичную форму и параллельны друг другу. Боковые грани призмы являются параллелограммами. По числу боковых граней призмы могут быть 3-, четырехгранными и т.д.

Вам понадобится

• – бумага для рисования;
• – примитивные карандаши;
• – мольберт;
• – призма либо предмет, имеющий форму призмы (деревянный брусок, коробка, шкатулка, деталь детского конструктора и т.п.), желанно белого цвета.

Инструкция

1. Возвести призму дозволено, вписав ее либо в параллелепипед, либо в цилиндр. Стержневой трудностью при рисовании призмы является положительное построение формы 2-х граней ее основания. При рисовании призмы, лежащей на одной из боковых граней, появляется добавочная трудность соблюдения законов перспективы, от того что в таком расположении становится приметным перспективное сокращение боковых граней.

2. Рисование вертикально расположенной призмы начните с обозначения ее центральной оси – вертикальной линии, проведенной посередине листа. На линии оси подметьте центр верхней (видимой) грани основания и проведите через эту точку горизонтальную линию. Определите соотношение высоты и ширины призмы способом визирования: посмотрите на натуру, прикрыв один глаз, и, держа карандаш в вытянутой руке на ярусе глаз, подметьте пальцем на карандаше видимую с вашей точки зрения ширину призмы и мысленно уложите это расстояние по линии высоты призмы определенное число раз (сколько получится).

3. Отмеривая отрезки карандашом теснее на рисунке, подметьте ширину и высоту призмы точками на 2-х нарисованных ранее линиях, соблюдая полученное соотношение. Нарисуйте эллипс вокруг центра верхней грани. Усердствуйте верно передать его воображаемую форму, глядя на натуру. Нарисуйте приблизительно такой же эллипс (но менее сплюснутый) и в плоскости нижней грани основания призмы. Полученные эллипсы объедините двумя вертикальными линиями.

4. Сейчас на верхнем эллипсе необходимо подметить отрезки пересечения боковых граней и ее оснований. Глядя на натуру, подметьте точки – вершины многоугольника – лежащего в основании призмы, как вы их видите, и ступенчато объедините их между собой. Из этих точек проведите линии вниз до пересечения с нижним эллипсом. Полученные точки пересечения так же объедините. При последующем рисовании грани, заметные с выбранной точки зрения, стираются либо заштриховываются, следственно все вспомогательные линии построения рисуйте без нажима.

5. Лежащую на боку призму нарисуйте с подмогой вспомогательного параллелепипеда. Ориентируясь на натуру, вычертите параллелепипед, соблюдая тезисы перспективы – линии боковых ребер при их мысленном продолжении до линии горизонта, находящейся неизменно на ярусе глаз зрителя, сходятся в одной точке. Следственно далекая от нас (заметная) грань будет немножко поменьше передней. При определении соотношений сторон параллелепипеда пользуйтесь способом «вытянутой руки» (либо визирования).

6. На передней и задней квадратных гранях подметьте вершины многоугольников, лежащих в основании призмы, и постройте их. Объедините эти точки попарно на 2-х гранях – нарисуйте боковые ребра призмы. Удалите непотребные линии. Больше близкие к вам линии ребер и углы призмы выделите пожирнее, а удаленные обозначьте легкими линиями.

7. Глядя на натуру, определите угол падения света, самую ясную, самую затененную грани и с подмогой штриховки различной интенсивности передайте эти световые соотношения в рисунке. Нарисуйте падающую от предмета тень. Рубеж соприкосновения призмы и стола подчеркните самой темной линией. Обратите внимание, что на самую затененную грань призмы снизу падает свет, отраженный от поверхности стола (рефлекс), и чуть приметно ее освещает. При наложении штриховки на эту грань учтите данный результат и в месте рефлекса наложите менее насыщенный тон.

Видео по теме

Призма – это многогранник, образованный любым финальным числом граней, две из которых – основания – непременно обязаны быть параллельны. Любая прямая линия, проведенная перпендикулярно основаниям, содержит соединяющий их отрезок, называемый высотой призмы. Если все боковые грани примыкают к обоим основаниям под углом в 90°, призма именуется прямой .

Вам понадобится

• Чертеж призмы, карандаш, линейка.

Инструкция

1. В прямой призме всякое боковое ребро по определению перпендикулярно основанию. А расстояние между параллельными плоскостями боковых граней идентично в всякий точке, в том числе и в тех точках, где боковое ребро примыкает к ним. Из этих 2-х обстоятельств вытекает, что длина ребра всякий боковой грани прямой призмы равна высоте этой объемной фигуры. Значит, если у вас есть чертеж, на котором изображен такой многогранник, на нем теснее присутствуют отрезки (ребра боковых граней), весь из которых дозволено обозначить и как высоту призмы. Если это не запрещено условиями задания, примитивно обозначьте всякое боковое ребро как высоту, и задача будет решена.

2. Если требуется провести на чертеже несовпадающую с боковыми ребрами высоту, начертите параллельный любому из этих ребер отрезок, соединяющий основания. Не неизменно это дозволено сделать «на глаз», следственно постройте две вспомогательные диагонали на боковых гранях – объедините пару всяких углов на верхнем и соответствующую им пару на нижнем основании. После этого отмерьте на верхней диагонали всякое комфортное расстояние и поставьте точку – это будет пересечение высоты с верхним основанием. На нижней диагонали отмерьте верно такое же расстояние и поставьте вторую точку – пересечение высоты с нижним основанием. Объедините эти точки отрезком, и построение высоты прямой призмы будет завершено.

3. Призма может быть изображена с учетом перспективы, то есть длины идентичных ребер фигуры могут иметь на рисунке различную длину, боковые грани могут примыкать к основаниям под различными и не неукоснительно прямыми углами и т.д. В этом случае, дабы верно соблюсти пропорции, действуйте так же, как описано в предыдущем шаге, но точки на верхней и нижней диагоналях ставьте верно в их серединах.

Детально – как сложить лист бумаги и вырезать прекрасную снежинку.

Вам понадобится

• Лист бумаги, у меня – обыкновенный лист А4, отменнее брать огромные салфетки
• Ножницы

Инструкция

1. Сворачиваем лист поперек вдвое

2. Сейчас по вдвое, лишь для того, дабы обнаружить середину

3. Заворачиваем края бумаги, сложенной вдвое, поочередно – видно как на фото

4. Следим, дабы листик загнулся равномерно, и концы доставали до сгибов.

5. Сейчас сворачиваем вдвое полученный конвертик. Необходимо потренироваться, дабы добиться того, дабы внешний край листа доходил ровно до сгиба.

6. Пока навыка нет, класснее рисовать приблизительный силуэт снежинки заблаговременно.

7. Аккуратненько вырезаем по силуэту.

8. Старательно разворачиваем.

Обратите внимание!
Помните, что невозможно делать сквозной разрез, снежинка распадется на части.

Полезный совет
Чем тоньше бумага, тем проще вырезать снежинку. Дозволено делать снежинки и из фольги.

Обратите внимание!
В развертке наклонной призмы не чертите ее грани под слишком огромным углом, напротив модель будет неустойчивой.

Определение .

Это шестигранник, основаниями которого являются два равных квадрата, а боковые грани представляют собой равные прямоугольники

Боковое ребро - это общая сторона двух смежных боковых граней

Высота призмы - это отрезок, перпендикулярный основаниям призмы

Диагональ призмы - отрезок, соединяющий две вершины оснований, которые не принадлежат к одной грани

Диагональная плоскость - плоскость, которая проходит через диагональ призмы и ее боковые ребра

Диагональное сечение - границы пересечения призмы и диагональной плоскости. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник

Перпендикулярное сечение (ортогональное сечение) - это пересечение призмы и плоскости, проведенной перпендикулярно ее боковым ребрам

Элементы правильной четырехугольной призмы

На рисунке изображены две правильные четырехугольные призмы, у которых обозначены соответствующими буквами:

• Основания ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 равны и параллельны друг другу
• Боковые грани AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C и CC 1 D 1 D, каждая из которых является прямоугольником
• Боковая поверхность - сумма площадей всех боковых граней призмы
• Полная поверхность - сумма площадей всех оснований и боковых граней (сумма площади боковой поверхности и оснований)
• Боковые ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 и DD 1 .
• Диагональ B 1 D
• Диагональ основания BD
• Диагональное сечение BB 1 D 1 D
• Перпендикулярное сечение A 2 B 2 C 2 D 2 .

Свойства правильной четырехугольной призмы

• Основаниями являются два равных квадрата
• Основания параллельны друг другу
• Боковыми гранями являются прямоугольники
• Боковые грани равны между собой
• Боковые грани перпендикулярны основаниям
• Боковые ребра параллельны между собой и равны
• Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям
• Углы перпендикулярного сечения - прямые
• Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник
• Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям

Формулы для правильной четырехугольной призмы

Указания к решению задач

При решении задач на тему "правильная четырехугольная призма " подразумевается, что:

Правильная призма - призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат . (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы) Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия - призма). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме . Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ .

Задача.

В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см 2 , а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.

Решение .
Правильный четырехугольник - это квадрат.
Соответственно, сторона основания будет равна

√144 = 12 см.
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Ответ : 22 см

Задача

Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.

Решение .
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Ответ : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .